Die Grundidee der ATLM-Methode besteht in der Aufteilung der TLM-Pulse in zwei Teilmengen. Diese sogenannten TLM-Teilmengen werden auch mit dem Begriff Subsets bezeichnet. Da die Pulse der beiden Teilmengen unter bestimmten Voraussetzungen voneinander unabhängig sind, besteht die Möglichkeit, auf die Berechnung der TLM-Pulse einer Teilmenge zu verzichten. Dies führt zu einer drastischen Reduzierung des Berechnungsaufwands ohne die Genauigkeit der Simulationsrechnung zu verschlechtern.
3.1.1 Das Prinzip der ATLM-Methode
Betrachtet man den Sonderfall des unendlich ausgedehnten freien Raums, so stellt man fest, daß die TLM-Pulse, die sich im Gitter ausbreiten, in zwei unabhängige Teilmengen unterschieden werden können. Im Bild 3.1 ist ein kleiner Ausschnitt des TLM-Gitters dargestellt. Man sieht, jeder Knoten ist mit genau sechs direkten Nachbarn verbunden. Der Zustand des mittleren weißen Knotens (also die Amplituden der TLM-Pulse im Knoten) ist nur von den Zuständen seiner sechs grau markierten Nachbarknoten zum vorherigen Zeitschritt abhängig.
Abb. 3.1: Ein Ausschnitt des TLM-Gitters. Die abwechselnd zu den weißen und grauen Knoten zugeordneten TLM-Pulse sind voneinander unabhängig.
Daraus läßt sich folgende Eigenschaft ableiten: Berechnet man zum ersten Zeitschritt ausschließlich die Zustände der weißen Knoten, so müssen beim zweiten Zeitschritt nur die grauen berücksichtigt werden. Zum Zeitschritt drei werden wieder nur die weißen Knoten bearbeitet. Es sind also die Zustände der weißen Knoten zum ersten Zeitschritt vollständig unabhängig von den Zuständen der grauen Knoten zum ersten Zeitschritt.
Die TLM-Pulse werden in zwei vollkommen unabhängige Teilmengen aufgeteilt. Man unterscheidet die gerade und die ungeraden Teilmenge. Dazu dient die Parität
Diese Parität ordnet die TLM-Pulse, abhängig von den Gitterkoordinaten nx, ny, nz und dem Zeitschritt nt, der ungeraden bzw. geraden Teilmenge zu. Zur geraden Teilmenge (p gerade) gehören die TLM-Pulse der geradzahlig numerierten Knoten, aber nur während geradzahliger Zeitschritte. Die Pulse der ungeradzahlig numerierten Knoten gehören ebenfalls zur geraden Teilmenge, aber nur während ungeradzahliger Zeitschritte. Die jeweils anderen TLM-Pulse sind der ungeraden Teilmenge (p ungerade) zugeordnet.
Anschaulich bedeutet das, daß zu geradzahligen Zeitschritten die TLM-Pulse der im Bild 3.1 weiß gekennzeichneten Knoten zur geradzahligen Teilmenge gehören und gerade Parität besitzen. Die Pulse der grauen Knoten sind der ungeraden Teilmenge zugeordnet und besitzen ungerade Parität. Einen Zeitschritt später ist diese Zuordnung genau umgekehrt. Die Pulse der grauen Knoten sind dann der geraden Teilmenge zugeordnet und besitzen gerade Parität. Die weißen Knoten beinhalten TLM-Pulse der ungeraden Teilmenge mit ungerader Parität. Ein einzelner Knoten enthält demnach abwechselnd Pulse mit ungerader und gerader Parität.
Modelliert man mit TLM den freien Raum ohne Wände und ohne Medium, dann sind die TLM-Pulse mit gerader und ungerader Parität immer unabhängig. Dies kann man leicht nachvollziehen, wenn man den Weg eines einzelnen TLM-Pulses im Gitter verfolgt. Jeder Puls und seine Streuprodukte besitzen immer die ursprünglichen Parität. Sie bleiben der ursprünglichen TLM-Teilmenge zugeordnet.
Diese Eigenschaft führt zur entscheidenden Weiterentwicklung der TLM-Methode. Da die Pulse der beiden TLM-Teilmengen vollständig unabhängig sind, kann eine der beiden ignoriert werden, ohne die Rechengenauigkeit negativ zu beeinflussen. Dieser Verzicht auf die Berechnung der TLM-Pulse einer Teilmenge führt zu zwei wichtigen Verbesserungen. Erstens erlaubt er eine drastische Einsparung des Rechenaufwands. Für die nicht existierenden TLM-Pulse der nicht betrachteten Teilmenge müssen keine Streuoperationen durchgeführt werden. Zweitens kann der unbelegte Speicherplatz der nicht vorhandenen Teilmenge für eine kompakte Speicherung der berechneten Teilmenge genutzt werden. Man weist jeweils zwei benachbarte Zellen, deren TLM-Pulse immer unterschiedlichen Teilmengen angehören, einem einzigen Speicherbereich zu, und spart, da nur Pulse einer Teilmenge betrachtet werden, die Hälfte des bisher erforderlichen Speicherplatzes.
Die Unabhängigkeit der TLM-Pulse der beiden Teilmengen ist eine notwendige Voraussetzung für die Anwendung von ATLM. Problematisch wird die Erhaltung dieser Unabhängigkeit bei der Verwendung von Medium und Randbedingungen. Da die herkömmliche Beschreibung von Medien und die bekannten Randbedingungen aufeinanderfolgende Zustände einzelner Zellen verknüpfen, vermischen sich dadurch die TLM-Pulse mit gerader und ungerader Parität und zerstören die Unabhängigkeit der Teilmengen. Betrachtet man z. B. eine ideal leitende Wand zwischen zwei TLM-Zellen, wird sofort klar, daß ein auf die Wand zulaufender TLM-Puls bei der Propagationsoperation in seine Ursprungszelle zurückreflektiert wird und dort einen Zeitschritt nach seinem Auslaufen wieder eintrifft. Der TLM-Puls wechselt seine Parität. Die ideal leitende Wand verursacht eine Verkopplung zwischen den Teilmengen. Das gleiche gilt für einfach absobierende Wände. Auch sie sind zwischen den Zellen angeordnet und reflektieren im allgemeinen Fall TLM-Pulse in die Zellen zurück. Ganz ähnlich verhält sich die Medienbeschreibung mit Stichleitungen. Hier findet die Reflexion zwar innerhalb der Zelle an den Stichleitungsenden statt, doch trifft auch ein in der Stichleitung laufender Puls nach einem Zeitschritt wieder im Zellenzentrum ein. Auch hier verkoppeln Pulse der beiden TLM-Teilmengen.
Gelingt es, die Vermischung der beiden Teilmengen durch geeignete Veränderungen der Randbedingungen zu verhindern, dann ist für Simulationsrechnungen die Betrachtung der TLM-Pulse aus einer Teilmenge vollkommen ausreichend und die ATLM-Methode kann verwirklicht werden. Es stellt sich sofort die Frage, ob die Randbedingungen und die Darstellung des Mediums so modifiziert werden können, daß sie für ATLM verwendbar sind. Daß diese Modifikationen gelingen, wird in den Abschnitten 3.3 bis 3.4 dieser Arbeit gezeigt. Dort wird aber auch deutlich, daß durch diese Modifikationen komplizierte Vorberechnungen für die ATLM-Simulationen notwendig werden. Trotzdem überwiegen die Vorteile des reduzierten Speicherplatzbedarfs den Aufwand für die Vorarbeiten bei weitem.
3.1.2 Der Speicherbedarf von ATLM
Verzichtet man bei TLM auf die Berechnung der Pulse einer TLM-Teilmenge, so erhält man ATLM. Bei der Realisierung ist zu beachten, daß, obwohl nur eine Teilmenge bearbeitet wird, das TLM-Gitter trotzdem vollständig beschrieben werden muß. Es müssen, wie beim herkömmlichem TLM auch, die Materialeigenschaften und die Dimensionen für jede Gitterzelle gespeichert werden. Die Propagationsoperation, also die Ausbreitung der TLM-Pulse, wird ebenfalls wie bisher durchgeführt. Der entscheidende Unterschied zur TLM-Methode ist die kompakte Speicherung der TLM-Pulse im ATLM-Gitter. Sie findet durch das Zusammenlegen des Speicherbereichs benachbarter Knoten statt. Im Bild 3.2 ist diese Zuordnung durch ovale Umrandungen gekennzeichnet.
Abb. 3.2: Die abwechselnde Zuordnung der Zustände jeweils zweier benachbarter Knoten zu einem Speicherbereich erlaubt eine Reduzierung des Speicherbedarfs um bis zu 50 %.
Da bei ATLM die Pulse einer Teilmenge ignoriert werden, ist also immer einer der benachbarten Knoten unbelegt. Dies erlaubt, da benachbarte Knoten immer TLM-Pulse mit unterschiedlicher Parität beinhalten, daß jeweils zwei übereinanderliegende Knoten einem Speicherbereich zugewiesen werden. In diesem Speicherbereich befinden sich nur TLM-Pulse der verwendeten Teilmenge, also abwechselnd die Zustände der weiß und grau gekennzeichneten Knoten. Im Vergleich zum herkömmlichen TLM belegen die Daten einer ATLM-Simulationsrechnung den halben Speicherplatz.
In der Praxis wird diese Einsparung nicht ganz erreicht, da neben den TLM-Pulsen auch die schon erwähnten Zusatzinformationen untergebracht werden müssen. Dazu gehören Angaben über dir Zellendimensionen, Parameter des Zellenmediums sowie gegebenenfalls die Lage und der Typ von Berandungen. Diese Daten können nicht reduziert werden, da sie nicht den unabhängigen Teilmengen zugewiesen werden können, sondern dem Simulationsgitter zugeordnet sind.
Verwendet man zur Modellierung des Mediums Stichleitungen, benötigt man zusätzlichen Speicher. Da die in den Stichleitungen laufenden Pulse auch in den Knoten vorhanden sind, deren Teilmenge nicht existiert, müssen diese Stichleitungszustände ebenfalls gespeichert werden.
Vergleicht man den Speicherbedarf verschiedener ATLM-Simulationsrechnungen mit der entsprechenden TLM-Rechnung, so ergeben sich folgende Grenzfälle. Ist für die Simulation die Mediendarstellung mit Stichleitungen notwendig, erreicht man bei der ATLM-Rechnung eine effektive Einsparung von 33 % im Vergleich zu TLM. Den höchsten Gewinn erzielt man bei Berechnungen mit homogenem Medium. Hier kann auf die Stichleitungen verzichtet werden, und ATLM benötigt 50 % weniger Speicher als TLM.
3.1.3 Die Genauigkeit von ATLM im Vergleich zu herkömmlichem TLM
Auch in herkömmlichen TLM-Simulationsrechnungen können die TLM-Pulse in zwei unterschiedliche Teilmengen aufgeteilt werden. Die Pulse dieser Teilmengen sind jedoch nicht vollständig unabhängig, da sie durch Randbedingungen verkoppelt werden. Die Verkopplungen entstehen an den ideal leitenden Wänden, also an Symmetrieflächen und Strukturelementen, sowie bei der Modellierung einfach absorbierender Randbedingungen. Da im gesamten Simulationsgitter nur relativ wenig Zellen von verkoppelnden Wänden beeinflußt werden, ist die Verkopplung insgesamt schwach.
Bei der Entwicklung der ATLM-Methode stellt sich nun die Frage, ob sich die Vermeidung der Verkopplung von TLM-Pulsen unterschiedlicher Parität zum Nachteil der neuen Methode auswirkt oder eine Verbesserung der Simulationsergebnisse zur Folge hat. Um diese Frage zu beantworten, wird folgende Testrechnung ausgeführt. Eine Koplanarleitung mit Diskontinuität wird in beiden TLM-Teilmengen unterschiedlich angeregt. Sollte sich der Unterschied nach einer ausreichenden Anzahl von Simulationsschritten nicht ausgleichen, so würde das bedeuten, daß durch die Verkopplung der TLM-Pulse mit unterschiedlicher Parität die Genauigkeit der Berechnung nicht erhöht wird.
Wie erwartet, findet ein Ausgleich zwischen den ungleich angeregten Teilmengen nur sehr langsam statt.
Abb. 3.3: Der zeitliche Feldverlauf der Wellenausbreitung auf einer CPW-Leitung mit Diskontinuität. Dargestellt ist der reflektierte Gaußimpuls. An den zackigen Kurvenbereichen sind deutliche Unterschiede zwischen den beiden TLM-Teilmengen (Subsets) erkennbar. Für die Simulationsrechnung wurde dieser Effekt dadurch provoziert, daß die Pulse beider Teilmengen unterschiedlich angeregt wurden.
Das Bild 3.3 zeigt den reflektierten Gaußimpuls an der Diskontinuität der Koplanarleitung. Der Hauptimpuls bei
t 
104 
zeigt, daß die Wellenausbreitung in beiden Teilmengen annähernd gleich modelliert wird.
Jedoch erscheinen zu früheren und späteren Zeiten unterschiedlich große, deutliche Differenzen zwischen den
Signalverläufen beider TLM-Teilmengen, die sich in hochfrequenten Signalanteilen äußern. In den Bereichen mit
zickzackförmigem Verlauf der Kurve sind die Abweichungen besonders hoch. Diese Unterschiede werden erst nach sehr
vielen Zeitschritten ausgeglichen. Der Grund dafür ist die äußerst schwache Verkopplung der TLM-Teilmengen.
Die geringe Verkopplung der Teilmengen bringt keine erkennbaren Vorteile bezüglich der Rechengenauigkeit. Es besteht sogar die Gefahr, daß eine ungeschickt gewählte Anregung zu unterschiedlichen Feldverläufen in den beiden TLM-Teilmengen führt und unphysikalische hochfrequente Signale verursacht. Wie das hier absichtlich ungleichmäßig angeregte Simulationsbeispiel zeigt, werden diese Störungen nur sehr langsam ausgeglichen. Man kann also davon ausgehen, daß ATLM, durch die Beschränkung auf die TLM-Pulse einer Teilmenge, keine ungenaueren Simulationsergebnisse liefert als TLM.
Eine weitere Qualität der Simulationsrechnungen ist die räumliche und zeitliche Auflösung der Feldverläufe. Sie ist bei ATLM-Simulationen scheinbar geringer als bei TLM. Es ist zwar richtig, daß bei der Arbeit mit nur einer TLM-Teilmenge an einem Beobachtungspunkt nur zu jedem zweiten Zeitschritt TLM-Pulse existieren, dies bedeutet aber keine Verschlechterung der Auflösung. Wie das Simulationsergebnis in Bild 3.3 zeigt, ist die höhere Auflösung von herkömmlichem TLM aufgrund der Unabhängigkeit der Teilmengen, bzw. wegen ihrer sehr schwachen Verkopplung nicht wirklich vorhanden. Vernachlässigt man bei dieser Betrachtung die Verkopplung der TLM-Pulse unterschiedlicher Parität, so entspricht die TLM-Simulationsrechnung zwei, das gleiche Simulationsgebiet umfassenden ATLM-Simulationen. Mit TLM werden also überflüssigerweise beide Teilmengen berechnet. Die Einschränkung auf die Berechnung einer einzelnen Teilmenge führt demnach zu keinem Verlust bei der räumlichen und zeitlichen Auflösung der Feldverläufe.
Trotzdem besteht der Wunsch, Feldverläufe auch bei ATLM-Simulationen mit der gleichen zeitlichen und räumlichen Auflösung wie mit TLM darzustellen. Dazu müssen die Feldkomponenten der TLM-Teilmenge bekannt sein, die bei der ATLM-Simulationsrechnung nicht berücksichtigt wurde. Werden die Abtastwerte aus der fehlenden Teilmenge benötigt, berechnet man diese aus den räumlichen und zeitlichen Mittelwerten der Komponenten in den Nachbarknoten. Diese Vorgehensweise ist gerechtfertigt, da selbst eine zusätzliche Berechnung von TLM-Pulsen der fehlenden Teilmenge keine erkennbaren Verbesserungen der Genauigkeit bringt. Im Gegenteil, wie Bild 3.3 zeigt, können dabei unphysikalische Störsignale die Berechnungsergebnisse verfälschen.
Die Untersuchung der Dispersionseigenschaften des TLM-Gitters in [9] zeigte, daß die hier aufgezeigten hochfrequenten Feldverläufe unphysikalische Lösungen der TLM-Methode sind. Bei ATLM treten diese parasitären Feldlösungen nicht auf, die Genauigkeit von Simulationsrechnungen mit ATLM ist deshalb besser als mit TLM. (Siehe dazu [23].)
3.1.4 Voraussetzungen für ATLM-Simulationen
Wenn auf die Berechnung einer der beiden TLM-Teilmengen verzichtet werden soll, dann dürfen keine Verkopplungen zwischen den TLM-Pulsen der beiden Teilmengen auftreten. Beim herkömmlichen TLM treten diese Verkopplungen an Randbedingungen, also Wänden, und bei der Modellierung des Mediums auf. Für ATLM müssen somit neue Beschreibungen für Randbedingungen und das Medium entwickelt werden.
Die Verkopplung der TLM-Teilmengen an den Wänden wird verhindert, indem man die Wände aus ihrer Lage zwischen den Knoten in die Knotenmitte verschiebt.
Abb. 3.4:Die Reflexionseigenschaften der herkömmlichen Wände im linken Gitter verkoppeln TLM-Pulse unterschiedlicher Parität. Im rechten Gitter liegt die Wand in den Knoten. Hier kann keine Verkopplung stattfinden.
Bild 3.4 zeigt auf der linken Seite eine Wand in herkömmlicher Lage zwischen den TLM-Knoten. Bei der Propagationsoperation werden die TLM-Pulse reflektiert und wechseln die Parität. Daneben ist eine Wand dargestellt, die in die Zentren der Knoten verschoben ist. Die Reflexionseigenschaft der Wand wird im Knoten durch die Streuoperation festgelegt. Es kann kein Paritätswechsel stattfinden. Für die Beschreibung der Wand im Streuknoten ist eine Neuberechnung der Streumatrix des Knotens notwendig. Je nach Lage und Typ der Wand verändern sich die Eigenschaften des Knotens und somit auch die Streumatrix. Hier offenbart sich der Nachteil der ATLM-Methode. In einem ATLM-Gitter benötigt man viele unterschiedliche Streumatrizen, um die Wände und Wandkombinationen der Strukturgeometrie simulieren zu können.
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Bernhard Bader
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