2.2 Die Feldabbildung

Bei Simulationsrechnungen mit TLM werden zeitliche und räumliche Verläufe von elektrischen und magnetischen Feldkomponenten berechnet. Dazu ist es erforderlich, Feldverläufe vorzugeben, um die elektromagnetische Wellenausbreitung im TLM-Gitter anzuregen. Ebenso muß es möglich sein, elektrische und magnetische Felder an beliebigen Beobachtungspunkten im TLM-Gitter abtasten zu können. Da TLM jedoch nicht mit Feldkomponenten, sondern mit TLM-Pulsen rechnet, müssen diese bei der Feldanregung und der Feldbeobachtung in Feldgrößen umgerechnet werden. Dafür existieren mehrere Möglichkeiten.

2.2.1 Die Zentralabbildung

Johns bildet die sechs Feldkomponenten ins Zentrum jeder Zelle ab [2]. Dazu verwendet man vier Abbildungen, zwei zur Feld-Pulsabbildung und zwei zur Puls-Feldabbildung. Es wird jeweils zwischen ein- und auslaufenden TLM-Pulsen unterschieden.

Die Abbildung

(2.31)

projiziert die 12 im Vektor a zusammengefaßten, in die TLM-Zelle einlaufenden TLM-Pulse auf den Feldvektor

(2.32)

Die sechs Feldkomponenten sind dabei im Zentrum der Zelle lokalisiert.

Die Abbildungsmatrix lautet

(2.33)

Zur Berechnung der TLM-Pulse aus dem Feldvektor, also zur Umkehrung der Abbildung (2.31), benutzt man

(2.34)

wobei für die Abbildungsmatrix

(2.35)

gilt.

Für die Abbildung der aus der TLM-Zelle auslaufenden TLM-Pulse b auf den Feldvektor und ihre Umkehrung, gelten folgende zwei Gleichungen

(2.36)

und

(2.37)

Die Beziehungen zwischen P_a und P_b bzw. Q_a und Q_b beschreibt man mit den Gleichungen

(2.38)

sowie

(2.39)

wobei die Diagonalmatrix

(2.40)

verwendet wird. Es gilt damit für die Abbildungsmatrizen P_b und Q_b

(2.41)

und

(2.42)

Der Nachteil dieser Feld-Pulsabbildung besteht darin, daß sie nicht eineindeutig ist. Die Projektion der zwölf TLM-Pulse auf die sechs Feldkomponenten (2.31) und eine anschließende Rückprojektion (2.34) liefert nicht unbedingt den Ausgangsvektor. Diese Eigenschaft führt bei den meisten praktischen Anwendungen zu keinen Problemen, solange man die Zentralabbildung nur zur Feldbeobachtung einsetzt und keine komplizierten Feldanregungen berechnet. Bei schwierigen Feldanregungen verwendet man die erweiterte Zentralabbildung oder die Zellwandabbildung. Diese beiden Feldabbildungen sind eineindeutig und umkehrbar.

2.2.2 Die erweiterte Zentralabbildung

Erweitert man den Feldvektor (2.32) um die räumlichen Ableitungen der Feldkomponenten

(2.43)

kann man die eineindeutige Abbildung

(2.44)

definieren.

Die Komponenten des Vektors f berechnet man aus den räumlichen Ableitungen der Feldkomponenten

, ,
, ,
und (2.45)

Neben der bei der einfachen Zentralabbildung verwendeten Matrix P_a ist in der Gleichung (2.44) eine zusätzliche Abbildungsmatrix erforderlich. Diese Matrix P'_a lautet

(2.46)

Die erweiterte Zentralabbildung ist invertierbar. Mit Q'_a=P'_a^T erhält man die inverse Abbildung

(2.47)

2.2.3 Die Randflächenabbildung

Die Randflächenabbildung oder Zellwandabbildung ist ebenfalls eine eineindeutige Abbildung zwischen TLM-Pulsen und Feldkomponenten. Sie basiert auf der Berechnung der elektrischen und magnetischen Feldkomponenten aus den TLM-Pulsen mittels des Poyntingvektors

(2.48)

Die aus den TLM-Zellen auslaufenden TLM-Pulse werden als Elementarwellen interpretiert. Die Feldkomponenten dieser Elementarwellen werden auf die Zellwände zwischen den Knoten abgebildet. Das Prinzip zeigt die Abbildung 2.7. Dort ist eine Verbindungsleitung zwischen zwei benachbarten Knoten dargestellt. Aus den exemplarisch gezeigten TLM-Pulsen a_{1;k+1,l+1,m,n} bzw. b_1;k,l+1,m,n des rechten Knotens und a_2;k+1,l,m,n bzw. b_2;k,l,m,n des linken Knotens berechnet man die Feldkomponenten E_y und H_z wie folgt:

An der Zellwand zwischen den im Bild 2.7 gezeigten TLM-Knoten gilt

,
(2.49)

Umgekehrt gilt

,
(2.50)

Z ist dabei der Leitungswellenwiderstand der TLM-Verbindungsleitungen. Er entspricht bei TLM dem Freiraumwellenwiderstand Z₀.

Abb. 2.7: Die Randflächenabbildung projiziert die Feldkomponenten auf die Zellwände. Abgebildet ist eine Zellwand, die die Verbindungsleitung zwischen den Toren 1 und 2 zweier benachbarter TLM-Knoten schneidet.

Alle Felder der Zellwandabbildung befinden sich auf der Oberfläche der TLM-Zellen und bestehen aus jeweils zwei tangential in der Fläche liegenden Komponenten. An der im Bild gezeigten Zellwand sind neben E_y und H_z noch E_z und H_y definiert. Sie berechnen sich aus den TLM-Pulsen der Tore 3 und 4, die orthogonal zu den Toren 1 und 2 angeordnet sind. Insgesamt sind auf den sechs Zellenseiten 24 Feldkomponenten definiert, die zu jeweils zwei TLM-Zellen gehören. Somit ist eine eineindeutige Abbildung zwischen den TLM-Pulsen und den elektrischen und magnetischen Feldgrößen gegeben.

Eine kurze Bemerkung zur Bezeichnung: Eigentlich sollte die Indizierung der TLM-Pulse den exakten Ort und den genauen Zeitpunkt ihres Zusammentreffens beschreiben. So müßte man z. B. a_{1;k+½,l+½,m,n} anstelle des Ausdrucks a_{1;k+1,l+1,m,n} in Gleichung (2.50) schreiben. Da aber

, ,
, (2.51)

gilt, wird hier auf die ½-Indizierung verzichtet.

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© 1997   Bernhard Bader	zurück zum Inhaltsverzeichnis